Wie bestimmt man den Wert $\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)$ exakt?
Indem man $0=\sin\left(\pi\right)=\sin\left(5\cdot\frac{\pi}{5}\right)$ ausnutzt.
Zunächst gelten die Additionstheoreme
\[
\begin{equation}
\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)
\end{equation}
\]
für alle $x,y\in\R$, wovon man sich zum Beispiel überzeugen kann, indem man
die Standardbasisvektoren der Ebene zunächst um den Winkel $x$ und dann um den Winkel $y$
dreht und beachtet, dass die Drehung eine lineare Abbildung ist und die Darstellungsmatrix
der Verkettung der Drehungen aufstellt. Es gibt natürlich auch geometrische Beweise dafür, zum Bespiel
bei Wikibooks.
Setzen wir $y=x$, so erhalten wir
\[
\begin{equation}
\cos(2\mspace{2mu}x)=\cos(x)^2-\sin(x)^2
\end{equation}
\]
sowie
\[
\begin{equation}
\sin(2\mspace{2mu}x)=2\sin(x)\cos(x)\quad,
\end{equation}
\]
und indem wir auf die rechte Seite der Gleichung $(3)$ den trigonometrischen Pythagoras
\[
\begin{equation}
\cos(x)^2+\sin(x)^2=1
\end{equation}
\]
loslassen, folgt
\[
\begin{equation}
\cos(2\mspace{2mu}x)=1-2\cdot\sin(x)^2\quad.
\end{equation}
\]
Daraus erhalten wir weiter
\[
\begin{array}{rcll}
\sin(4\mspace{2mu}x) &=& \sin(2\cdot2\mspace{2mu}x)\\
&=& 2\mspace{2mu}\sin(2\mspace{2mu}x)\cos(2\mspace{2mu}x) & (4)\\
&=& 2\cdot2\mspace{2mu}\sin(x)\cos(x)\cdot\left(1-2\mspace{2mu}\sin(x)^2\right) & (4), (3)\\
&=& 4\mspace{2mu}\sin(x)\cos(x)\cdot\left(1-2\mspace{2mu}\sin(x)^2\right)\\
\end{array}
\]
und damit
\[
\begin{equation}
\sin(4\mspace{2mu}x) = 4\mspace{2mu}\sin(x)\cos(x)-8\mspace{2mu}\sin(x)^3\cos(x)\quad.
\end{equation}
\]
Mit ebenso wenig Aufwand finden wir
\[
\begin{array}{rcll}
\cos(4\mspace{2mu}x) &=& \cos(2\cdot2\mspace{2mu}x)\\
&=& 1-2\mspace{2mu}\sin(2\mspace{2mu}x)^2 & (6)\\
&=& 1-2\mspace{2mu}\left(2\sin(x)\cos(x)\right)^2 & (4)\\
&=& 1-2\cdot4\mspace{2mu}\sin(x)^2\cos(x)^2\\
&=& 1-8\mspace{2mu}\sin(x)^2\cos(x)^2\\
&=& 1-8\mspace{2mu}\sin(x)^2\cdot\left(1-\sin(x)^2\right) & (5)\quad,\\
\end{array}
\]
also
\[
\begin{equation}
\cos(4\mspace{2mu}x) = 1-8\mspace{2mu}\sin(x)^2+8\mspace{2mu}\sin(x)^4\quad.
\end{equation}
\]
Es folgt
\[
\begin{array}{rcll}
\sin(5\mspace{2mu}x) &=& \sin(4\mspace{2mu}x+x)\\[2mm]
&=& \sin(4\mspace{2mu}x)\cos(x)+\cos(4\mspace{2mu}x)\sin(x) & (2)\\[2mm]
&=& \left(4\mspace{2mu}\sin(x)\cos(x)-8\mspace{2mu}\sin(x)^3\cos(x)\right)\cdot\cos(x) \\
&& +\left(1-8\mspace{2mu}\sin(x)^2+8\mspace{2mu}\sin(x)^4\right)\cdot\sin(x) & (7), (8)\\[2mm]
&=& 4\mspace{2mu}\sin(x)\cos(x)^2-8\mspace{2mu}\sin(x)^3\cos(x)^2\\
&& +\sin(x)-8\mspace{2mu}\sin(x)^3+8\mspace{2mu}\sin(x)^5\\[2mm]
&=& 4\mspace{2mu}\sin(x)\cdot\left(1-\sin(x)^2\right)-8\mspace{2mu}\sin(x)^3\cdot\left(1-\sin(x)^2\right)\\
&& +\sin(x)-8\mspace{2mu}\sin(x)^3+8\mspace{2mu}\sin(x)^5 & (5)\\[2mm]
&=& 4\mspace{2mu}\sin(x)-4\mspace{2mu}\sin(x)^3-8\mspace{2mu}\sin(x)^3+8\mspace{2mu}\sin(x)^5\\
&& +\sin(x)-8\mspace{2mu}\sin(x)^3+8\mspace{2mu}\sin(x)^5\quad,\\
\end{array}
\]
was\[
\begin{equation}
\sin(5\mspace{2mu}x) = 5\mspace{2mu}\sin(x)-20\mspace{2mu}\sin(x)^3+16\mspace{2mu}\sin(x)^5
\end{equation}
\]
bedeutet.
Damit ist $\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)$ eine Nullstelle des Polynoms $16\mspace{2mu}x^5-20\mspace{2mu}x^3+5\mspace{2mu}x$.
Da $\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)$ von Null verschieden ist, können wir problemlos das Polynom $16\mspace{2mu}x^4-20\mspace{2mu}x^2+5$ betrachten.
Es gilt
\[
\begin{array}{lrcll}
& 16\mspace{2mu}x^4-20\mspace{2mu}x^2+5 &=& 0\\
\iff & 16\mspace{2mu}x^4-20\mspace{2mu}x^2 &=& -5\\
\end{array}
\]
was wir auch in der Form
\[
\begin{equation}
\left(4\mspace{2mu}x^2\right)^2-5\cdot\left(4\mspace{2mu}x^2\right) = -5
\end{equation}
\]
schreiben können, und mit der Abkürzung $y:=4\mspace{2mu}x^2$ wird daraus $y^2-5\mspace{2mu}y=-5$, also
\[
\begin{equation}
y^2-5\mspace{2mu}y+5=0\quad.
\end{equation}
\]
Wie man leicht nachrechnet, hat diese quadratische Gleichung die Lösungen $y_1=\frac{1}{2}\cdot\left(5+\sqrt{5}\right)$ und $y_2=\frac{1}{2}\cdot\left(5-\sqrt{5}\right)$.
Wir müssen prüfen, ob diese auch die Gleichung $(10)$ erfüllen. Für $y_1$ ergibt sich
\[
\begin{array}{rcll}
{y_1}^2-5\mspace{2mu}y_1+5 &=& \left(\frac{1}{2}\cdot\left(5+\sqrt{5}\right)\right)^2-5\mspace{2mu}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(5+\sqrt{5}\right)\\
&=& \frac{1}{4}\cdot\left(5+\sqrt{5}\right)^2-\frac{5}{2}\cdot\left(5+\sqrt{5}\right)\\
&=& \frac{1}{4}\cdot\left(25+10\mspace{2mu}\sqrt{5}+5\right)-\frac{5}{2}\cdot\left(5+\sqrt{5}\right)\\
&=& \frac{1}{4}\cdot\left(30+10\mspace{2mu}\sqrt{5}\right)-\frac{1}{2}\cdot\left(25+5\mspace{2mu}\sqrt{5}\right)\\
&=& \frac{1}{4}\cdot\left(30+10\mspace{2mu}\sqrt{5}\right)-\frac{1}{4}\cdot\left(50+10\mspace{2mu}\sqrt{5}\right)\\
&=& \frac{1}{4}\cdot\left(30-50\right)\\
&=& \frac{1}{4}\cdot\left(-20\right)\\
&=& -5\quad.
\end{array}
\]
Also ist $y_1$ eine Lösung von $(10)$.
Für $y_2$ ergibt sich
\[
\begin{array}{rcll}
{y_2}^2-5\mspace{2mu}y_2+5 &=& \left(\frac{1}{2}\cdot\left(5-\sqrt{5}\right)\right)^2-5\mspace{2mu}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(5-\sqrt{5}\right)\\
&=& \frac{1}{4}\cdot\left(5-\sqrt{5}\right)^2-\frac{5}{2}\cdot\left(5-\sqrt{5}\right)\\
&=& \frac{1}{4}\cdot\left(25-10\mspace{2mu}\sqrt{5}+5\right)-\frac{5}{2}\cdot\left(5-\sqrt{5}\right)\\
&=& \frac{1}{4}\cdot\left(25-10\mspace{2mu}\sqrt{5}+5\right)-\frac{1}{2}\cdot\left(25-5\mspace{2mu}\sqrt{5}\right)\\
&=& \frac{1}{4}\cdot\left(25-10\mspace{2mu}\sqrt{5}+5\right)-\frac{1}{4}\cdot\left(50-10\mspace{2mu}\sqrt{5}\right)\\
&=& \frac{1}{4}\cdot\left(25-10\mspace{2mu}\sqrt{5}+5-50+10\mspace{2mu}\sqrt{5}\right)\\
&=& \frac{1}{4}\cdot\left(25+5-50\right)\\
&=& \frac{1}{4}\cdot\left(-20\right)\\
&=& -5\quad.
\end{array}
\]
Also ist auch $y_2$ eine Lösung von $(10)$.
Indem wir $y=4\mspace{2mu}x^2$ nach $x$ umstellen, erhalten wir $x_{1,\,2} = \pm\frac{1}{2}\mspace{2mu}\sqrt{\vphantom{y^2}y}$. Mit $y=y_1$ folgt
\[
\begin{array}{rcll}
x_1 &=& \frac{1}{2}\mspace{2mu}\sqrt{\vphantom{y^2}y_1}\\
&=& \frac{1}{2}\mspace{2mu}\sqrt{\frac{1}{2}\cdot\left(5+\sqrt{5}\right)}\\
&=& \sqrt{\frac{1}{4}}\cdot\mspace{2mu}\sqrt{\frac{1}{2}\cdot\left(5+\sqrt{5}\right)}\\
&=& \sqrt{\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(5+\sqrt{5}\right)}\\
&=& \sqrt{\frac{1}{8}\cdot\left(5+\sqrt{5}\right)}
\end{array}
\]
und damit
\[
\begin{equation}
x_1 = \sqrt{\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{\vphantom{5^2}5}}{8}}\quad,\quad x_2 = -\mspace{2mu}\sqrt{\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{\vphantom{5^2}5}}{8}}\quad.
\end{equation}
\]
Wegen $\sin(0)=0$ und da die Sinusfunktion auf dem Intervall $\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ streng monoton wachsend ist,
ist $\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)>0$, also ist $x_2$ uninteressant.
Mit $y=y_2$ folgt $x_{3,\,4} = \pm\frac{1}{2}\mspace{2mu}\sqrt{\vphantom{y^2}y_2}$, also
\[
\begin{array}{rcll}
x_3 &=& \frac{1}{2}\mspace{2mu}\sqrt{\vphantom{y^2}y_2}\\
&=& \frac{1}{2}\mspace{2mu}\sqrt{\frac{1}{2}\cdot\left(5-\sqrt{5}\right)}\\
&=& \sqrt{\frac{1}{8}\cdot\left(5-\sqrt{5}\right)}
\end{array}
\]
und damit
\[
\begin{equation}
x_3 = \sqrt{\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{\vphantom{5^2}5}}{8}}\quad,\quad x_4 = -\mspace{2mu}\sqrt{\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{\vphantom{5^2}5}}{8}}\quad.
\end{equation}
\]
Erneut ist $x_4<0$, also uninteressant.
Wir haben jetzt also zwei Werte für $\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)$ zur Auswahl, nämlich $a:=\sqrt{\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{\vphantom{5^2}5}}{8}}$ und $b:=\sqrt{\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{\vphantom{5^2}5}}{8}}$, und müssen uns für einen der beiden Werte entscheiden.
Wir wissen, dass der Sinus auf dem Intervall $\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ streng monoton wächst, d.h. aus der Ungleichung
\[
\begin{equation}
\frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{4}
\end{equation}
\]
folgt
\[
\begin{equation}
\sin\left(\frac{\pi}{5}\right) < \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\mspace{2mu}\sqrt{\vphantom{5^2}2}\quad.
\end{equation}
\]
(Dass tatsächlich $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\mspace{2mu}\sqrt{\vphantom{5^2}2}$ ist, kann man sich am rechtwinkligen Dreieck veranschaulichen, indem man beachtet, dass zum Bogenmaß $\frac{\pi}{4}$ das Gradmaß $45^{\circ}$ gehört und den trigonometrischen Pythagoras (Gleichung $(5)$) anwendet.)
Also brauchen wir nur abzuschätzen: Für $a$ erhalten wir
\[
\begin{array}{lrcll}
& \sqrt{\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{\vphantom{5^2}5}}{8}} &<& \frac{1}{2}\mspace{2mu}\sqrt{\vphantom{5^2}2}\\
\iff & \frac{5}{8}+\frac{\sqrt{\vphantom{5^2}5}}{8} &<& \frac{1}{4}\mspace{2mu}\cdot2\\
\iff & \frac{5}{8}+\frac{\sqrt{\vphantom{5^2}5}}{8} &<& \frac{1}{2}\\
\iff & 5+\sqrt{5} &<& 4\\
\iff & \sqrt{5} &<& -1\quad,
\end{array}
\]
also eine falsche Aussage. Also können wir den Wert $\sqrt{\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{\vphantom{5^2}5}}{8}}$ verwerfen.
Für $b$ erhalten wir
\[
\begin{array}{lrcll}
& \sqrt{\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{\vphantom{5^2}5}}{8}} &<& \frac{1}{2}\mspace{2mu}\sqrt{\vphantom{5^2}2}\\
\iff & \frac{5}{8}-\frac{\sqrt{\vphantom{5^2}5}}{8} &<& \frac{1}{4}\mspace{2mu}\cdot2\\
\iff & \frac{5}{8}-\frac{\sqrt{\vphantom{5^2}5}}{8} &<& \frac{1}{2}\\
\iff & 5-\sqrt{5} &<& 4\\
\iff & -\sqrt{5} &<& -1\\
\iff & \sqrt{5} &>& 1\\
\iff & 5 &>& 1\quad,
\end{array}
\]
also eine wahre Aussage.
Also können wir festhalten:
\[
\begin{equation}
\sin\left(\frac{\pi}{5}\right) = \sqrt{\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{\vphantom{5^2}5}}{8}}\quad.
\end{equation}
\]
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