Ordung von Produkten in abelschen Gruppen

Mal wieder etwas Gruppentheorie (von hier).

Es sei ${(G,\ \cdot,\ 1)}$ eine abelsche Gruppe. $a$ und $b$ seien zwei Gruppenelemente endlicher Ordnung, d.h. es gebe $k,\ l\in\N\setminus\{0\}$ mit \[ k = \min\{p\in\N\setminus\{0\} \mid a^p = 1\}\quad,\\ l = \min\{p\in\N\setminus\{0\} \mid b^p = 1\}\quad.\\ \] Wir behaupten, dass dann die Ordnung von $a\,b$ nicht größer sein kann als $\mathrm{kgV}(k,\ l)$.

Nun: Sei $t:=\mathrm{kgV}(k,\ l)$. Dann gilt \[\ \begin{array}{rcll} (a\,b)^t &=& a^t\,b^t\\ &=& a^{\alpha\,k}\,b^{\beta\,l} & \text{für passende $\alpha,\ \beta \in \N$}\\ &=& a^{k\,\alpha}\,b^{l\,\beta}\\ &=& \left(a^k\right)^\alpha\,\left(b^l\right)^\beta\\ &=& 1^\alpha\,1^\beta\\ &=& 1\quad. \end{array} \] Also ist $\mathrm{ord}(a\,b)$ ein Teiler von $\mathrm{kgV}(k,\ l)$, woraus die Behauptung sofort folgt.