Sind $1$ und $\sqrt3$ über $\mathbb Q\left(\sqrt2\right)$ linear unabhängig?

$\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\set}[1]{\left\{{#1}\right\}}
\newcommand{\setwhere}[2]{\left\{{#1}\hspace{2pt}\middle|\hspace{2pt}{#2}\right\}}
\newcommand{\qwzwei}{\Q\left(\sqrt2\right)}
\newcommand{\nullqwzwei}{0_\Q+0_\Q\cdot\sqrt2}$Im Buch „Analysis I“ von Herbert Amann und Joachim Escher findet man die Frage, ob $1$ und $\sqrt3$ über dem Körper $\Q\left(\sqrt2\right)$ linear unabhängig sind. Aus dem Bauch heraus habe ich vermutet, dass das so ist, aber es kam dann doch das Gegenteil heraus.

Es ist $\qwzwei:=\setwhere{a+b\cdot\sqrt2}{a,\ b\in\Q}$.

Definitionsgemäß sind $1$ und $\sqrt3$ genau dann linear unabhängig über $\qwzwei$, falls für alle $\alpha,\ \beta\in\qwzwei$ gilt:

\[
\alpha \cdot 1 + \beta \cdot\sqrt3 = \nullqwzwei \implies \alpha=\beta=\nullqwzwei\quad.
\] Seien $\alpha,\ \beta\in\qwzwei$. Dann gibt es $a,\ b,\ c,\ d\in\Q$ mit
\[
\alpha = a+b\cdot\sqrt2\ ,\qquad\beta=c+d\cdot\sqrt2\quad.
\] Es folgt
\[
\begin{array}{rcl}
  \alpha \cdot 1 + \beta \cdot\sqrt3 &=& \left(a+b\cdot\sqrt2\right)\cdot 1 + \left(c+d\cdot\sqrt2\right)\cdot\sqrt3\\
&=& a+b\cdot\sqrt2 + c\cdot\sqrt3 + d\cdot\sqrt2\cdot\sqrt3\quad.
\end{array}
\]
Es gelte $\alpha \cdot 1 + \beta \cdot\sqrt3 = \nullqwzwei$. Dann folgt
\[
a+b\cdot\sqrt2 + c\cdot\sqrt3 + d\cdot\sqrt2\cdot\sqrt3 = \nullqwzwei\quad,
\] also erhalten wir nach Multiplikation mit $\sqrt2\cdot\sqrt3$ Folgendes
\[
a\cdot\sqrt2\cdot\sqrt3+2\cdot b\cdot \sqrt3+6\cdot d+3\cdot c \cdot\sqrt2 = \nullqwzwei\quad,
\] und nach etwas Umsortieren und Ausklammern von $\sqrt2$ steht da
\[
\left(2b\sqrt3+6d\right) + (a\sqrt3+3c)\sqrt2= \nullqwzwei\quad.
\] Jetzt können wir ausnutzen, dass $1$ und $\sqrt2$ über $\Q$ linear unabhängig sind, erhalten also
\[
2b\sqrt3+6d = 0_\Q\qquad\text{und}\qquad a\sqrt3+3c=0_\Q\quad.
\] Addieren wir diese beiden Gleichungen, ergibt sich
\[
\left(a+2b\right)\sqrt3 +\left(6d+3c\right) = 0_\Q\quad,
\] und da die rechte Seite der Gleichung eine rationale Zahl ist, ist auch die linke Seite rational. Doch da $1$ und $\sqrt3$ über $\Q$ ebenfalls linear unabhängig sind, folgt $a+2b=0$ und $6d+3c=0$, d.h. es folgt NICHT $a=b=0$ und $c=d=0$.

Also sind $1$ und $\sqrt3$ über dem Körper $\qwzwei$ linear abhängig.

Teilbarkeit und Äquivalenzrelationen

Wir definieren die Relation $R\subseteq \mathbb Z \times \mathbb Z$ durch
\[
\ \ \forall\mspace{2mu} x,\,y\in\mathbb Z\quad\left( xRy \iff 7\mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 2x+5y\right)
\] und vermuten, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.

Reflexivität: Sei $x\in\mathbb Z$. Dann gilt $7\mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 7x = 5x+2x$, also $xRx$. Damit ist $R$ reflexiv.

Symmetrie: Seien $x,\,y\in\mathbb Z$, und es gelte $xRy$, d.h. $7\mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 2x+5y$. Klarerweise gilt $7\mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 7x+7y$, und da mit zwei durch $7$ teilbaren Zahlen auch ihre Differenz durch $7$ teilbar ist, folgt
\[
7 \mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 7x+7y-(2x+5y) = 5x+2y\quad,
\] also $yRx$. Damit ist $R$ symmetrisch.

Transitivität: Seien $x,\,y,\,z\in\mathbb Z$, und es gelte $xRy$ und $yRz$, d.h. $7\mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 2x+5y$ und $7\mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 2y+5z$. Dann folgt wegen $7\mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 7y$:
\[
7\mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 2x+5y+2y+5z-7y=2x+5z\quad,
\] und damit ist $R$ transitiv.

Also ist $R$ tatsächlich eine Äquivalenzrelation.