Mal wieder etwas Gruppentheorie (von hier).
Es sei ${(G,\ \cdot,\ 1)}$ eine abelsche Gruppe. $a$ und $b$ seien zwei Gruppenelemente endlicher Ordnung, d.h. es gebe $k,\ l\in\N\setminus\{0\}$ mit
\[
k = \min\{p\in\N\setminus\{0\} \mid a^p = 1\}\quad,\\
l = \min\{p\in\N\setminus\{0\} \mid b^p = 1\}\quad.\\
\]
Wir behaupten, dass dann die Ordnung von $a\,b$ nicht größer sein kann als $\mathrm{kgV}(k,\ l)$.
Nun: Sei $t:=\mathrm{kgV}(k,\ l)$. Dann gilt
\[\
\begin{array}{rcll}
(a\,b)^t &=& a^t\,b^t\\
&=& a^{\alpha\,k}\,b^{\beta\,l} & \text{für passende $\alpha,\ \beta \in \N$}\\
&=& a^{k\,\alpha}\,b^{l\,\beta}\\
&=& \left(a^k\right)^\alpha\,\left(b^l\right)^\beta\\
&=& 1^\alpha\,1^\beta\\
&=& 1\quad.
\end{array}
\]
Also ist $\mathrm{ord}(a\,b)$ ein Teiler von $\mathrm{kgV}(k,\ l)$, woraus die Behauptung sofort folgt.