Binomischer Lehrsatz? Viel zu kompliziert.

Aus dem Tutorium.

Gibt es Ringe $R$, in denen die Gleichung $(a+b)^5 = a^5+b^5$ für alle $a,\,b\in R$ gilt?

Wir behaupten: Ja, solche Ringe gibt es. (Aber mit Sicherheit ist $\R$ kein Beispiel dafür!)

Sei $R$ ein beliebiger kommutativer Ring mit Eins, und seien $a,\,b\in R$. Multiplizieren wir einmal $(a+b)^5$ aus. Das ergibt \[ a^5 + 5\mspace{3mu}a\mspace{3mu}b^4 + 10\mspace{3mu}a^3\mspace{3mu}b^2 + 10\mspace{3mu}a^2\mspace{3mu}b^3 + 5\mspace{3mu}a\mspace{3mu}b^4 + b^5\quad, \] und wir sehen, dass alle Summanden bis auf den ersten und den letzten durch 5 teilbar sind. Es gilt also \[ (a+b)^5 \equiv a^5+b^5\pmod5\quad, \] weil alle anderen Summanden wegfallen.

Wenn wir also $R:=\Z_5$ setzen, dann haben wir erreicht, was wir wollten: Die lange Binomialentwicklung schnurrt auf zwei Summanden zusammen. Für alle $[a],\,[b]\in\Z_5$ gilt \[ ([a]+[b])^5 = [a]^5+[b]^5 = [a^5] + [b^5] = [a^5 + b^5]\quad. \]