In dem einen Matheforum – genauer hier – bin ich auf die folgende Aussage gestoßen:
Sei $n\in{\mathbb N}$. Genau dann sind alle Gruppen der Ordnung $n$ isomorph, wenn $n$ quadratfrei ist und für je zwei Primteiler $p$ und $q$ von $n$ gilt: $p\nmid q-1$.
Zuerst der einfache Teil der Behauptung: Was ist mit der trivialen Gruppe los? Sie hat Ordnung $1$, und $1$ ist quadratfrei (denn eine natürliche Zahl $n$ ist genau dann quadratfrei, wenn in der PFZ von $n$ kein Primfaktor mit Vielfachheit größer als $1$ erscheint). Die Menge der Primteiler von $1$ ist leer, denn die kleinste Primzahl ist $2$. Also ist hier nicht viel zu tun.
Und nun… Trommelwirbel………………………… Je zwei Gruppen der Ordnung $1$ sind isomorph! (Beweis? vielleicht später irgendwann mal… es sei denn, jemand hinterlässt ihn als Kommentar ;))
Jetzt sei also $n$ eine natürliche Zahl größer als $1$.
Wenn $n$ eine Primzahl ist, dann ist die Sache einfach.
Denn sei $n$ eine Primzahl und $G$ eine Gruppe der Ordnung $n$. Dann gilt zunächst, dass $n$ mit Ausnahme von $1$ und $n$ keine positiven Teiler hat. Aus dem Satz von Lagrange können wir also folgern, dass $G$ keine nichttrivialen Untergruppen, d.h. solche, die von $G$ und $\{1\}$ verschieden sind, haben kann. Also hat jedes Element von $G$ entweder die Ordnung $1$ oder die Ordnung $n$.
Welche Elemente von $G$ haben Ordnung $1$?
Sicherlich das neutrale Element, denn $1$, egal wie oft mit sich selbst verknüpft, ist wieder gleich $1$.
Kann es noch weitere Elemente von $G$ geben, die Ordnung $1$ haben?
Nein, denn sei $a\in G\setminus\{1\}$, und es gelte $\mathrm{ord}(a)=1$. Dann folgt, dass die von $a$ erzeugte zyklische Untergruppe gleich $\{1\}$ ist, und damit wäre $a$ ein neutrales Element in $G$. Jedoch hatten wir $a$ als vom neutralen Element verschieden vorausgesetzt.
Damit haben wir gezeigt: Jedes Element $a\in G\setminus\{1\}$ hat Ordnung $n$.
Insgesamt haben wir damit die Ordnung aller Gruppenelemente bestimmt, und dadurch ist die Gruppe natürlich (bis auf Isomorphie ;)) festgelegt.
Wir sind jetzt also bei folgender Aussage angekommen: „Je zwei Gruppen von Primzahlordnung sind isomorph.“ Wenn wir nun zeigen „Für jede Primzahl $p$ gilt: $p$ ist quadratfrei und für alle Primteiler $q$, $r$ von $p$ gilt $q\nmid r-1$“, dann haben wir die behauptete Äquivalenz zumindest für Primzahlordnungen nachgewiesen. Und das sind immerhin schon unendlich viele.
Sei also $p$ eine Primzahl. Dann ist $p$ klarerweise quadratfrei, denn der einzige Primteiler mit Vielfachheit $1$ ist $p$, und alle anderen Primteiler haben Vielfachheit $0$. Also hat kein Primteiler Vielfachheit größer als $1$.
Nun zum zweiten Teil der Und-Aussage. Seien $q$, $r\in\mathbb P$, und es gelte $q\mid p$ und $r \mid p$. Dann folgt sofort $q=p=r$. Also gilt $q\nmid q-1=r-1$, denn zwei aufeinander folgende natürliche Zahlen sind stets teilerfremd.
So. Das war der einfache Teil. Der schwierige Teil, also die zusammengesetzten Gruppenordnungen, kommt später.
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