Teilbarkeit und Äquivalenzrelationen

Wir definieren die Relation $R\subseteq \mathbb Z \times \mathbb Z$ durch
\[
\ \ \forall\mspace{2mu} x,\,y\in\mathbb Z\quad\left( xRy \iff 7\mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 2x+5y\right)
\] und vermuten, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.

Reflexivität: Sei $x\in\mathbb Z$. Dann gilt $7\mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 7x = 5x+2x$, also $xRx$. Damit ist $R$ reflexiv.

Symmetrie: Seien $x,\,y\in\mathbb Z$, und es gelte $xRy$, d.h. $7\mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 2x+5y$. Klarerweise gilt $7\mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 7x+7y$, und da mit zwei durch $7$ teilbaren Zahlen auch ihre Differenz durch $7$ teilbar ist, folgt
\[
7 \mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 7x+7y-(2x+5y) = 5x+2y\quad,
\] also $yRx$. Damit ist $R$ symmetrisch.

Transitivität: Seien $x,\,y,\,z\in\mathbb Z$, und es gelte $xRy$ und $yRz$, d.h. $7\mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 2x+5y$ und $7\mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 2y+5z$. Dann folgt wegen $7\mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 7y$:
\[
7\mspace{2mu}\mid\mspace{2mu} 2x+5y+2y+5z-7y=2x+5z\quad,
\] und damit ist $R$ transitiv.

Also ist $R$ tatsächlich eine Äquivalenzrelation.